斐波那契数列
1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，这样的数列就是 的斐波那契数列（Fibonaccisequence），因数学家列昂纳多·斐波那契（LeonardodaFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，所以又称为“兔子数列”。
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
个月小兔子无繁殖能力，所以还是一对；
两个月后，生下一对小兔对数共有两对；
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；
……
依次类推可以列出下表：
幼仔对数=前月成兔对数
成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数
总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数
可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。
在数学上，斐波纳契数列以如下递推的方法定义：F（1）=1，F（2）=1,F（n）=F（n-1）+F（n-2）（n≥3，n∈N*）
仔细观察斐波那契数列
你有什么小发现吗？
1.周期
观察斐波那契数列中每个数的个位数字，我们发现有这样一个周期：
（1,1,2,3,5,8,3,1,4,5,9,4,3,7,0,7,7,4,1,5,6,1,7,8,5,3,8,1,9,0,9,9,8,7,5,2,7,9,6,5,1,6,7,3,0,3,3,6,9,5,4,9,3,2,5,7,2,9,1,0）,1,1,2……
可以发现斐波那契数列的个位数字：每60个为一个循环，当然它的末两位、末三位、末四位也是有循环周期的，有兴趣的同学可以自己通过查资料去探索喔。
2.*金比例
随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近*金分割的数值0.。
斐波那契数列是怎样出现在数学题中的呢？
我们可以看一下其中一种题型：
（1）有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法?
登上第1级台阶，有1种走法；
登上第2级台阶，可以1＋1，2，共有2种走法；
登上第3级台阶，可以1＋1＋1，1＋2，2＋1，共有3种走法；
登上第4级台阶，可以1＋1＋1＋1，1＋1＋2，1＋2＋1，2＋1＋1，2＋2，共有5种走法；
登上第5级台阶，可以1＋1＋1＋1＋1，1＋1＋1＋2，1＋1＋2＋1，1＋2＋1＋1，2＋1＋1＋1，2＋2＋1，2＋1＋2，1＋2＋2，共有8种走法；
……
可以发现，台阶有1级，2级，3级，4级，5级，……时，上台阶的走法分别为1，2，3，5，8，…，显然，这是一个斐波那契数列。所以要登上第10级台阶，就是这个数列的第10项（即89），因此共有89种走法。
（2）一段楼梯，共有7级台阶，规定每一步只能跨1级、2级或3级，则登上7级台阶共有多少种方法？
登上第1级台阶，只能跨1级，有1种走法；
登上第2级台阶，1＋1，2，共有2种走法；
登上第3级台阶，1+1+1，1+2，2+1，3，共有4种走法；
登上第4级台阶，1+1+1+1，1+1+2，1+2+1，2+1+1，2+2，1+3，3+1，共有7种走法；
登上第5级台阶，1+1+1+1+1，1+1+1+2，1+1+2+1，1+2+1+1，2+1+1+1，1+2+2，2+1+2，2+2+1，1+1+3，1+3+1，3+1+1，2+3，3+2，共有13种走法；
……
可以发现，台阶有1级，2级，3级，4级，5级，……时，上台阶的走法分别为1，2，4，7，13，…，以后每增加一级就是他前面三个数的和，所以要登上第7级台阶，就是这个数列的第7项（44），因此共有44种走法。
与斐波那契数列有关的数学题还有很多
就不再例举了
下面我们来看一下斐波那契数列的应用
1.艺术和科学方面
在古代文明中，*金比例（神圣几何）经常被用于艺术和建筑的设计，从简单的螺旋到更复杂的设计，今天的神圣几何仍然用于规划和建造许多建筑物，如教堂，寺庙，祭坛，住房以及创造宗教艺术品。
2.自然科学方面
例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上 的“鲁德维格定律”。
3.眼前真实存在的斐波那契数
比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e（可以推出更多），*金矩形、*金分割、等角螺线，十二平均律等。
另外，观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：3、5、8、13、21、……
其中百合花花瓣数目为3，梅花5瓣，飞燕草8瓣，万寿菊13瓣，向日葵21或34瓣，雏菊有34、55和89三个数目的花瓣。
这个神奇奥妙的序列隐藏在我们生活中任何常见的事物，植物如一棵花菜，一朵向日葵，宏观如星系和飓风，小到细胞分裂，都有斐波那契数列的存在。
数字是一种充满神秘色彩而又与我们息息相关的东西，数字的奥妙无穷无尽。满世界神奇的事物，等着我们去发现。
练一练
1.有一列数按1，1，2，3，5，8，13，21，34，…的顺序排列，第个数是奇数还是偶数？
点击下方空白区域查看答案▼
这个数列是按照“奇数、奇数、偶数”的顺序循环重复排列的；每一组循环中有2个奇数和1个偶数，周期数为3，÷3=66（组）……2（个），余数是2，所以第个数是奇数。
2.开始有三个数为1，1，1，每次操作把其中一个数换成其他两个数的和。经过9次操作后所得的三个数中， 数的 可能值是多少？
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数的 可能值是89。每次把三个数从小到大排序，再把前面的最小的数换成后面两个数的和，结果为（1，1，1）→（1，1，2）→（1，2，3）→（2，3，5）→（3，5，8）→（5，8，13）→…
经过观察， 的数构成一个斐波那契数列，开始的两个数是1，2，从第三项开始，每个数是前面两个数的和，因此为89。
3.下面每个长方形都是由几个小正方形组成的：①号长方形面积为2
②号长方形面积为6
③号长方形面积为15
④号长方形面积为40
按照这样排下去，第⑧号长方形面积为多少？
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每个长方体的宽和长分别为：1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，形成了斐波那契数列，则第8个图形的宽和长为34和55，它的面积为55×34=。
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